什么是调制传递函数？
调制传递函数的定义
调制传递函数（MTF）是一种性能指标，用于衡量图像对比度相对于物体对比度的衰减程度。随着对比度的降低，观察者会越来越难以辨别图像中的细微特征。导致对比度衰减的因素包括衍射效应、光学像差和暗角等。因此，您可以利用MTF来评估和比较光学系统。
目录
确定系统的MTF
要测定系统的MTF，可以使用具有完美对比度的正弦波图案作为测试目标。图像对比度设计如下：
其中Imax和Imin分别表示最大辐照度和最小辐照度。对比度的最大值为 1，最小值为 0。
正弦波图案的一个周期对应一条黑条纹和一条白条纹。每个周期也被称为线对（lp）。空间频率通常以线对或单位距离内的周期数来表示，该单位通常为毫米。因此，空间频率的单位通常表示为 lp/mm 或周期/mm。对于无焦系统，单位会转换为角频率，通常以周期/毫弧度来表示。
图1. 光学系统 会导致图像的对比度相对于物体的对比度而降低。
图1显示了系统对单一频率的响应，然而，MTF测量的是系统在截止频率fc 以下连续频率范围内的响应。截止频率是系统能够分辨的最高频率，其计算公式为：
MTF 是二维空间频率向量的函数，但通常以一维图表的形式呈现。在此类表示中，将其响应与理想系统的响应进行比较具有重要意义。在无像差系统中，对比度仅受衍射效应的影响而降低。图 2 中的虚线显示了无像差系统的 MTF，其标注为“衍射极限”。
图2. 某光学系统的轴上MTF 曲线与衍射极限MTF曲线的对比。输出图像在低频段呈现出极佳的对比度，而在高频段则对比度较差，这与MTF曲线相吻合。
对于离轴场点，MTF结果取决于条纹图案的取向。通常会针对每个场点分别显示切向（T）和径向（R）方向，如图3所示。在切向目标中，条纹与像圆相切；而在径向目标中，条纹与径向平行。
图3. 切向和径向方向的离轴MTF 曲线图。在CODE V中，目标条形图相对于Y轴。径向MTF对应垂直条形，切向MTF对应水平条形。
有时测量全焦段MTF图会很有帮助，该图展示了选定频率下的MTF随失焦位置的变化情况。另一种具有参考价值的MTF图是MTF与像场点的关系图，它展示了选定频率下的MTF随像场点的变化情况。这些图的示例如图4所示。
图4. MTF与失焦位置的关系图（左）及MTF与视场的关系图（右）示例 。
对比度传递函数
到目前为止，我们讨论的都是代表单一频率的正弦波目标。系统对方波信号的响应称为对比度传递函数（CTF）。对于成像对象具有方波特征的系统（例如条形码阅读器），CTF 可能是一个更合适的性能指标。从计算角度来看，可以通过求和一系列正弦波响应值来近似得到 CTF。
图5.轴向CTF。目标图案为方波，而非正弦波。
设计过程中的MTF考量
光学设计师并不一定以达到衍射极限性能为目标。理想的MTF曲线取决于设计要求。镜头规格通常以特定频率下的MTF值形式呈现。例如，MTF规格可能源于传感器像素尺寸和奈奎斯特定理，该定理描述了传感器能够分辨的最高空间频率。
例如，假设有一个像素尺寸为 7.4 μm × 7.4 μm 的数字传感器。根据奈奎斯特定理，其可分辨的最高频率为 1 周期/(2 × 7.4 μm) = 0.0676 周期/μm ≈ 68 周期/mm。根据传感器的特性，对镜头的一般性能要求可能是：
- 在 17 周期/毫米时，MTF 值大于 50%，且
- MTF > 25%（68 周期/毫米）。
图6展示了一款在所有成像区域均能满足这些要求的镜头的MTF曲线。在设计过程中了解传感器的特性至关重要，因为在许多情况下，传感器的奈奎斯特频率仅为衍射截止频率fc的一小部分。
图6. 该系统 满足MTF > 50%（17周期/毫米）和MTF > 25%（68周期/毫米）的要求。
另一个值得考虑的因素是：对于微小的像差，MTF的衰减通常发生在衍射截止频率的一半附近。这是因为零频率处的MTF始终为1，而衍射截止频率处的MTF为0。如果将存在像差时的MTF作为无像差MTF的比值来测量，所得曲线会在中间区域出现下陷。
在实际操作中，如何测量MTF？
在实验中，可以通过多种方式测量光学系统的频率响应，例如使用斜边标靶或三条杠标靶。这些标靶使用起来非常方便，因为只需将其成像即可。
三条纹目标是测量分辨率的一种常用方法。它由三条平行条纹组成，其宽度和间距对应于特定的空间频率。要测量系统分辨率，需在单张图表上排列多个特定频率的三条纹图案，并观察所得图像以确定能够分辨出的最小特征。
具有这些特征的一个常见测试目标是图7所示的1951年美国空军图表。三条条纹目标的实测分辨率可能与CTF预测值存在差异，因为CTF假设条纹图案是无限长的。在条纹数量有限的图案中，可能会出现边缘效应，导致图案两端的条纹对比度降低。因此，实测对比度可能低于CTF的预测值。
另一种实验测量MTF的方法是使用倾斜边缘目标。该方法的独特之处在于，仅需一个目标即可获得频率信息。在此方法中，必须将边缘与传感器的像素阵列成一个指定的微小角度，如图7所示。当输入为阶跃函数而非点光源时，图像上的辐照度分布即为边缘展宽函数。 随后，可通过边缘扩散函数导数的傅里叶变换来确定MTF。
图7. 可用于实验测量MTF的靶标示例 ，左侧为三条形靶标，右侧为斜边靶标。
如何计算MTF？
要确定如何计算MTF，首先需要定义点扩散函数（PSF）、传递函数（TF）以及它们与MTF之间的关系。
成像系统的点扩散函数（PSF）是指当物体为点光源时所得到的辐照度分布。对于相干光，PSF 与瞳孔函数复振幅的傅里叶变换相关；对于非相干光，PSF 与瞳孔函数强度的傅里叶变换相关。因此，相干光和非相干光的 PSF 之间存在如下关系。
其中 r 是 二维空间位置向量：
线性移变不变系统的非相干传递函数r由非相干点扩散函数的傅里叶变换给出：
其中p是二维空间频率向量，F2表示二维傅里叶变换。此时，传递函数可以用相干点扩散函数表示为：
相干瞳孔函数pf(r)是出瞳球面处波前复振幅。其相位（相对于参考球面）由像差决定，而振幅在瞳孔边界内为1，或由特定的衰减函数决定。
由于相干点扩散函数与相干瞳孔函数pf(r) 的傅里叶变换有关，因此传递函数也可表示为：
其中B是一个常数因子，取决于光源波长以及点光源与瞳孔之间的距离，星号 ⋆表示自相关。因此，非相干传递函数与瞳孔函数的复自相关有关。将传递函数相对于TF(0) 进行归一化较为方便。该结果被称为光学传递函数 (OTF)：
调制传递函数（MTF）是光学传递函数的模：
因此，可以通过计算瞳孔函数的复自相关，或计算非相干点扩散函数的傅里叶变换来求得MTF。根据MTF的定义，OTF可以用复数形式表示为：
其中p(p)表示相位。MTF 只能取正值，但当发生相位反转时，OTF 可能为负值。对于条纹图案的图像而言，这会导致对比度反转，即白色特征变为暗色，而暗色特征变为亮色。
在MTF图中，MTF曲线会先降至零，然后“反弹”。了解这种行为非常重要。反弹之后，尽管MTF在较低频率处曾降至零，但从技术上讲它实际上是在上升。另一个可能的影响是：如果在优化过程中将MTF用作误差函数，相位反转可能会导致局部极小值。
其他常见的系统规格包括斯特雷尔比和均方根波前误差。对于微小的像差，指定斯特雷尔比等同于指定均方根波前误差。斯特雷尔比定义为所测点扩散函数（PSF）的峰值强度与理想点扩散函数（PSF）的峰值强度之比。调制传递函数（MTF）与非相干点扩散函数（PSF）的逆傅里叶变换相关。
因此，斯特雷尔比可以表示为整个MTF曲线下的积分，其中包括奈奎斯特频率以外的频率（这些频率无关紧要）。正因如此，当奈奎斯特频率远低于衍射截止频率时，指定零频至奈奎斯特频率范围内的MTF，比指定斯特雷尔比或均方根波前误差更为合理。
使用 CODE V
CODE V是一款功能强大的光学设计工具。其进阶 工具包括通过评估瞳孔函数的自相关来计算 MTF，以及通过计算正弦波响应值的级数求和来计算 CTF。
参考文献
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